Matematika Informatika

STRUKTUR ALJABAR

  1. Apakah Himpunan Q = {4,3} termasuk Semigrup, jika a * b = b.a ?

Penyelesaian:

Semigrup → 1. Tertutup

                     2. Asossiatif

a.       Pembuktian tertutup

a = 4 , b = 3

a * b = 3.4

               = 12 → Terutup

b.      Pembuktian Assosiatif

(a * b) * c     =    a * (b * c)

         (b.a) * c     =    a * (c.b)

        r  * c     =    a * s

            c.r     =    s.a        

        c(b.a)    =    (c.b).a

        3(3.4)    =    (3.3)4

              36   =     36

Jadi operasi a * b = b.a termasuk semi grup

  2. Buktikan bahwa operasi * termasuk dalam monoid dengan a*b = ½ (a+b) untuk himpunan bilangan asli.

Penyelesaian:

a.       Tertutup

      Misal  : a = 1       b = 2

                        a*b = ½ (a+b)

                               = ½(1+2)

                               =½ (3)

                               = 3/2

karena 3/2 bukan termasuk bilangan asli dan tidak tertutup , maka operasi * tidak termasuk dalam monoid

  3. Diketehui A = {1,2,3,4}. Apakah A termasuk dalam semigrup dalam operasi   penjumlahan (A,+) ?

Penyelesaian:

a.       Tertutup :

Misal a=1 dan b=2

a*b =  a+b

                   =  1+2 = 3     (tertutup)

b.      Asosiatif :

(a*b)*c = a*(b*c)

           (1+2)+3 = 1+(2+3)

                       6 = 6          (asosiatif)

·   Karena Himpunan A bersifat Tertutup dan Asosiatif maka termasuk dalam Semigrup

  4. Diketahui D = { 0 , 1}. Apakah D termasuk Grup dalam operasi penjumlahan?

Penyelesaian:

a.       Tertutup:

         a * b = a + b

                  = 0 + 1

                  = 1         ( Tertutup)

b.      Asosiatif:

( a + b ) + c = a + (b + c)

(0 + 1) + 1 = 0 + (1 + 1)

                  2          =        2             (Asosiatif)

c.       Identitas:

a * e = a

1 + e = 1

                   e = 0 

d.      Invers:

 

Karena memenuhi syarat Tertutup, Asosiatif, Identitas dan invers , maka D termasuk Grup.

  5. Himpunan R adalah bilangan bulat. Tentukan apakah operasi * bersifat grup

a * b = a+b+1

Penyesaian:

a.       Tertutup:

misal : a = 3  b = 4

a * b = a + b + 1

        = 3 + 4 + 1

        = 8

b.      Asosiatif

             (a * b) * c = a * (b * c)

      (a + b + 1) * c = a * (b + c + 1)

                     x * c =  a * y

               x + c +1 = a + y + 1

(a + b + 1) + c +1 = a + (b + c + 1) + 1

       a + b + c + 2 = a + b + c + 2

c.       Identitas

       a * e = a

a + e + 1 = a

            e = a – a – 1

            e = -1

d.      Invers

        

             

Karena memenuhi syarat Tertutup, Asosiatif, Identitas dan invers , maka a * b = a+b+1 termasuk Grup.

  6. Himpunan R adalah bilangan bulat. Tentukan apakah operasi * bersifat semigrup

a * b = a/b

Penyesaian:

a.       Tertutup:

misal : a = 3  b = 4

a * b = a/b

         = 3/4 (tidak tertutup)

Karena ¾ tidak termasuk bilangan bulat, maka operasi * tidak termasuk dalam semigrup

  7.  Buktikan bahwa operasi * termasuk dalam monoid dengan a*b = ½ (a.b) untuk himpunan bilangan asli.

Penyelesaian:

a.       Tertutup

      Misal  : a = 1       b = 3

                        a*b = ½ (1.3)

                               = ½(1.3)

                               =½ (3)

                               = 3/2

karena 3/2 bukan termasuk bilangan bulat dan tidak tertutup , maka operasi * tidak termasuk dalam monoid

  8. Buktikan bahwa operasi * termasuk dalam monoid dengan D * E = D + 2E untuk himpunan bilangan asli.

Penyelesaian:

a.       Tertutup

      Misal  : D = 5       E = 2

       D * E = D + 2E

                 = 5 + 2.6

                 = 17 (Tertutup)

b.      Asosiatif

  (D * E) * F = D * (E * F)

(D + 2E) * F = D * (E + 2F)

            A * F = D * B

          A + 2F = D + 2B

           (D + 2E) + 2F = D + 2(E+2F)

 D + 2E + 2F = D + 2E + 4F (Tidak Asosiatf)

Karena tidak memunih syarta monoid ( tertutup, Asosiatif dan identitas) maka

D * E = D + 2E tidak termasuk monoid

   9. Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu Grup dan H = {0,2}merupakan Subgrup dari G. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G.

Penyelesaian :

(G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3}, generatornya 0, 1, 2, dan 3

Koset kiri : 0 + H = 0 + {0,2} = {0,2}

1 + H = 1 + {0,2} = {1,3}

2 + H = 2 + {0,2} = {2,0}

3 + H = 3 + {0,2} = {3,1}

Koset kanan: H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2}

H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3}

H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0}

H + 3= {0,2} + 3 = {3,1}

Sehingga :

0 + H = H + 0= {0,2}

1 + H = H + 1= {1,3}

2 + H = H + 2 = {0,2}

3 + H = H + 3 = {1,3}

Maka koset kiri = koset kanan.

  10.  Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif, didefinisikan x * y = |x – y| bila x ¹ y dan x * x = x untuk setiap x,y ∈ Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan assosiatif.

Penyelesaian :

a. Tertutup

Misalkan x = 2 dan y = 3

x * y = 2 * 3 = |2 – 3| =1

x * x = 2 * 2 = 2

x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y ∈ Z+

b. Komutatif

x, y ∈ Z+, misalkan x = 2 dan y = 3

x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1

y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1

x * y = y * x = komutatif

c. Assosiatif

x, y, z ∈ Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4

(x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 – 3| * 4 = |1 – 4| = 3

x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 – 4| = |2 – 1| = 1

(x * y) * z = x * (y * z)  tidak assosiatif