1. Apakah Himpunan Q = {4,3} termasuk Semigrup, jika a * b = b.a ?
Penyelesaian:
Semigrup → 1. Tertutup
2. Asossiatif
a. Pembuktian tertutup
a = 4 , b = 3
a * b = 3.4
= 12 → Terutup
b. Pembuktian Assosiatif
(a * b) * c =
a * (b * c)
(b.a) * c = a * (c.b)
r
* c = a * s
c.r
=
s.a
c(b.a)
= (c.b).a
3(3.4) = (3.3)4
36 = 36
Jadi operasi a * b = b.a termasuk
semi grup
2. Buktikan bahwa operasi * termasuk dalam monoid dengan a*b = ½ (a+b)
untuk himpunan bilangan asli.
Penyelesaian:
a. Tertutup
Misal : a = 1 b = 2
a*b = ½
(a+b)
= ½(1+2)
=½ (3)
= 3/2
karena 3/2 bukan
termasuk bilangan asli dan tidak tertutup , maka operasi * tidak termasuk dalam
monoid
3. Diketehui A = {1,2,3,4}. Apakah A termasuk dalam semigrup dalam
operasi penjumlahan (A,+) ?
Penyelesaian:
a.
Tertutup :
Misal a=1 dan b=2
a*b = a+b
= 1+2 =
3 (tertutup)
b.
Asosiatif :
(a*b)*c = a*(b*c)
(1+2)+3
= 1+(2+3)
6 =
6 (asosiatif)
· Karena Himpunan A bersifat Tertutup
dan Asosiatif maka termasuk dalam Semigrup
4. Diketahui D = { 0 , 1}. Apakah D termasuk Grup dalam operasi
penjumlahan?
Penyelesaian:
a.
Tertutup:
a *
b = a + b
= 0 + 1
= 1 ( Tertutup)
b.
Asosiatif:
( a + b ) + c = a + (b + c)
(0 + 1) + 1 = 0 + (1 + 1)
2
=
2 (Asosiatif)
c.
Identitas:
a * e = a
1 + e = 1
e = 0
d.
Invers:
Karena memenuhi syarat Tertutup, Asosiatif,
Identitas dan invers , maka D termasuk Grup.
5. Himpunan R adalah bilangan bulat. Tentukan apakah operasi * bersifat
grup
a * b = a+b+1
Penyesaian:
a.
Tertutup:
misal : a = 3 b = 4
a * b = a + b + 1
= 3 + 4 + 1
= 8
b.
Asosiatif
(a * b) * c = a * (b * c)
(a + b + 1) * c = a * (b + c + 1)
x * c = a * y
x + c +1 = a + y + 1
(a + b + 1) + c +1 = a + (b + c + 1)
+ 1
a + b + c + 2 = a + b + c + 2
c.
Identitas
a * e = a
a + e + 1 = a
e = a – a – 1
e = -1
d.
Invers
Karena memenuhi
syarat Tertutup, Asosiatif, Identitas dan invers , maka a * b = a+b+1 termasuk
Grup.
6. Himpunan R adalah bilangan bulat. Tentukan apakah operasi * bersifat
semigrup
a * b = a/b
Penyesaian:
a.
Tertutup:
misal : a = 3 b = 4
a * b = a/b
= 3/4 (tidak tertutup)
Karena ¾ tidak
termasuk bilangan bulat, maka operasi * tidak termasuk dalam semigrup
7. Buktikan bahwa operasi * termasuk dalam monoid dengan a*b = ½ (a.b)
untuk himpunan bilangan asli.
Penyelesaian:
a. Tertutup
Misal : a = 1 b = 3
a*b = ½
(1.3)
= ½(1.3)
=½ (3)
= 3/2
karena 3/2 bukan
termasuk bilangan bulat dan tidak tertutup , maka operasi * tidak termasuk
dalam monoid
8. Buktikan bahwa operasi * termasuk dalam monoid dengan D * E = D + 2E
untuk himpunan bilangan asli.
Penyelesaian:
a. Tertutup
Misal : D = 5 E = 2
D * E = D + 2E
= 5 + 2.6
= 17 (Tertutup)
b. Asosiatif
(D * E) * F = D * (E * F)
(D + 2E) * F = D * (E + 2F)
A * F = D * B
A + 2F = D + 2B
(D
+ 2E) + 2F = D + 2(E+2F)
D + 2E + 2F = D + 2E + 4F (Tidak Asosiatf)
Karena tidak memunih syarta monoid ( tertutup, Asosiatif dan identitas)
maka
D * E = D + 2E tidak termasuk monoid
9. Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu Grup dan H = {0,2}merupakan Subgrup
dari G. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G.
Penyelesaian :
(G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3}, generatornya 0, 1, 2,
dan 3
Koset kiri : 0 + H = 0 + {0,2} = {0,2}
1 + H = 1 + {0,2} = {1,3}
2 + H = 2 + {0,2} = {2,0}
3 + H = 3 + {0,2} = {3,1}
Koset kanan: H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2}
H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3}
H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0}
H + 3= {0,2} + 3 = {3,1}
Sehingga :
0 + H = H + 0= {0,2}
1 + H = H + 1= {1,3}
2 + H = H + 2 = {0,2}
3 + H = H + 3 = {1,3}
Maka koset kiri = koset kanan.
10. Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan
bulat positif, didefinisikan x * y = |x – y| bila x ¹ y dan x * x = x untuk
setiap x,y ∈ Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan
assosiatif.
Penyelesaian :
a. Tertutup
Misalkan x = 2 dan y = 3
x * y = 2 * 3 = |2 – 3| =1
x * x = 2 * 2 = 2
x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y ∈ Z+
b. Komutatif
x, y ∈ Z+, misalkan x = 2 dan y = 3
x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1
y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1
x * y = y * x = komutatif
c. Assosiatif
x, y, z ∈ Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4
(x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 – 3| * 4 = |1 – 4| =
3
x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 – 4| = |2 – 1| =
1
(x * y) * z = x * (y * z) tidak assosiatif
